数理情報学Ⅰ


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数理情報学Ⅰのレポート問題のページを作りました。
何となくわかった問題に関しては方針を載せるので、ぜひ積極的に追加、修正をしてください。(きっと多々間違いあり)

絶対値、半角で書くと勝手に整形されるので敢えて全角で表記してます><
(・ω・)ノ☆・゚::゚ヨロシク♪

1

縮小写像の原理を用いると、収束値が存在するかどうかが判定できますよね。
|g(x)-g(x')|≦λ|x-x'|
となっていれば収束値があるので、今回もこれを使って計算するといいんですかね。
この式に平均値の定理を適用すると、
max|g'(x)|<1
を示せばいいことになります。

結果は
0<f'(x)/<2f'(x_0)
x∈I
のときなら収束値があるよーみたいな感じでした。
  • つーかfの滑らかさはどのくらい仮定すればいいのかな?C1級を仮定して区間を十分小さくとれば、f'の連続性から区間内でf'の符号が変わらないようにできるから、| g(x+h) - g(x) | = |g'(x+θh)||h| = |1 - f'(x+θh)/f(x_0) ||h| < |h|となっていいのかなってのが俺の証明の概略だけど。


2

丁寧に数学的帰納法を使えばなんとかなりました。(たぶん)
1行目から順番に前進過程を進めて、k行目まで来たとき、
a_kk≠0
になっていればいいんですよね。
成分を計算して、強対角優位だったらこの時a_kkが0にならないぐらい対角要素が大きい事をいえばいいんじゃないでしょうか。
!もうひとつ前進消去をしてのこったところが強対角優位になっているということを言わないと帰納法は使えませんよ。←(たしかに!サンクス)
  • というか強対角優位なら対角成分は必ずノンゼロだよね
↑その通り!

3

作用素ノルムの定義が
||A||=sup||Ax||/||x||
みたいなかんじなので、成分計算したらすぐ求まると思います。

4

真ん中の項をべき級数展開して三角不等式を使えばOK

分かんない・・・。
どうやって三角不等式に持ち込めるのー?

今になって不安になってきた。違うような気がする。
  • 上で抑える方は三角不等式でいけるはず。下は三角不等式じゃ無理そうだなあ。ちなみに正則であることは(I+T)x=0⇔||x||=||Tx||を満たすx≠0が存在すると仮定して||T||<1と矛盾。
  • 下で抑える方は、「i<j⇒||a_i||>||a_j||が成立するならば||∑a_i||≧∑(-1)^i||a_i||」が示せればいいんだけどなあ。

5

http://homepage3.nifty.com/gakuyu/suti/sekibun/gauss-intb.html
↑これをそのまんまやれば大丈夫じゃない?vv
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