東京大学教養学部基礎科学科2008年進学者WIKI

量子力学II

最終更新：2008年07月22日 05:58

kisokagaku2008

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2007年

第1問

調和振動子なので猪野先生のプリントでも見てください。

第2問

要するに、さっさと行列表示してしまえば楽なわけなんですけど、|↑>を(1,0)、|↓>と(0,1)と同一視してしまえば、

$\begin{align*} </dd></dl> <p>\hat{S}_{+}\begin{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}&\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\end{pmatrix} \end{align*}=\begin{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}&\begin{pmatrix}\hbar\\0\end{pmatrix}\end{pmatrix}$ あと同様に $\hat{S}_-$ も行列表示して、 $\hat{S}_x, \hat{S}_y$ の行列表示をすればよい。あとは、この固有値、固有ベクトルを求めて、固有ベクトル(s,t)をs|↑>+t|↓>とすればOK。

第3問

縮退のない摂動の問題は、

エネルギーを摂動パラメタ(λ)の冪級数に展開する
状態ベクトル（or波動関数）もパラメタの冪級数に展開する（ただし0次の項は無摂動Hamiltonianの注目している固有状態）
状態ベクトル（or波動関数）の1次以上の項を無摂動Hamiltonianの固有状態でさらに展開する
Schrödinger方程式にぶち込んで、λの必要な次数をとってくる
両辺を無摂動Hamiltonianの注目している固有状態と内積を取るとその次数のエネルギーシフトの係数が分かる
無摂動Hamiltonianのそれ以外の固有状態と内積を取ると、その次数の状態ベクトル（or波動関数）の補正の展開係数が分かる

と、やることはワンパターン。ただし、縮退がある場合（この問も当然そう）は、

与えられた基底に対して永年方程式を解くなどして、 $\langle\varphi_m|\hat{H}_1|\varphi_n\rangle=0(m\neq n)$ となるような線型結合を新しい基底とする

という操作がまず加わる（H₁は摂動項）。

1.

この問に即すと、 $\frac{\partial}{\partial x}=\frac{x}{r}\frac{\partial}{\partial r}$ （yも同様）

$\hat{L}_z\psi_0=\hat{L}_z\psi_z=0$

は明らか。即ち ψ₀, ψ_zは摂動の影響を受けない。

即ち、ψ_x, ψ_yの線型結合を適当に取ればよいが、永年方程式を解かなくても、x, yの反対称性から単純な線型結合

ψ_±=(ψ_x±iψ_y)/√2

とすればよいことが期待でき、実際このとき

$\int dV\psi_+\hat{L}_z\psi_-=0$

となる（計算には $\hat{L}_z\psi_x=-\psi_y, \hat{L}_z\psi_y=\psi_x, \int dV\psi_i\psi_j=\delta_{ij}(i,j=x,y)$ を用いるとよい）。ちなみに永年方程式は以下になる。

$\begin{vmatrix}\int dV\psi_x\hat{L}_z\psi_x-E&\int dV\psi_x\hat{L}_z\psi_y\\ </dd></dl> <p>\int dV\psi_y\hat{L}_z\psi_x&\int dV\psi_y\hat{L}_z\psi_y-E\end{vmatrix}$

ここで、Scrödinger方程式のλの1次を取り出すと

$\hat{L}_z\psi_i+\hat{H}_0\sum_{j\neq i}c_{ij}\psi_j=E_1\psi_i+E_0\sum_{j\neq i}c_{ij}\psi_j\ (i=+,- \& j=0,+,-,z)$