量子力学II


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2007年

第1問

調和振動子なので猪野先生のプリントでも見てください。

第2問

要するに、さっさと行列表示してしまえば楽なわけなんですけど、|↑>を(1,0)、|↓>と(0,1)と同一視してしまえば、

\begin{align*}
</dd></dl>
<p>\hat{S}_{+}\begin{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}&\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\end{pmatrix}
\end{align*}=\begin{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}&\begin{pmatrix}\hbar\\0\end{pmatrix}\end{pmatrix} あと同様に\hat{S}_-も行列表示して、\hat{S}_x, \hat{S}_yの行列表示をすればよい。あとは、この固有値、固有ベクトルを求めて、固有ベクトル(s,t)をs|↑>+t|↓>とすればOK。

第3問

縮退のない摂動の問題は、

  • エネルギーを摂動パラメタ(λ)の冪級数に展開する
  • 状態ベクトル(or波動関数)もパラメタの冪級数に展開する(ただし0次の項は無摂動Hamiltonianの注目している固有状態)
  • 状態ベクトル(or波動関数)の1次以上の項を無摂動Hamiltonianの固有状態でさらに展開する
  • Schrödinger方程式にぶち込んで、λの必要な次数をとってくる
  • 両辺を無摂動Hamiltonianの注目している固有状態と内積を取るとその次数のエネルギーシフトの係数が分かる
  • 無摂動Hamiltonianのそれ以外の固有状態と内積を取ると、その次数の状態ベクトル(or波動関数)の補正の展開係数が分かる

と、やることはワンパターン。ただし、縮退がある場合(この問も当然そう)は、

  • 与えられた基底に対して永年方程式を解くなどして、\langle\varphi_m|\hat{H}_1|\varphi_n\rangle=0(m\neq n)となるような線型結合を新しい基底とする

という操作がまず加わる(H1は摂動項)。

1.

この問に即すと、\frac{\partial}{\partial x}=\frac{x}{r}\frac{\partial}{\partial r}yも同様)

\hat{L}_z\psi_0=\hat{L}_z\psi_z=0

は明らか。即ち ψ0, ψzは摂動の影響を受けない

即ち、ψx, ψyの線型結合を適当に取ればよいが、永年方程式を解かなくても、x, yの反対称性から単純な線型結合

ψ±=(ψx±y)/√2

とすればよいことが期待でき、実際このとき

\int dV\psi_+\hat{L}_z\psi_-=0

となる(計算には\hat{L}_z\psi_x=-\psi_y, \hat{L}_z\psi_y=\psi_x, \int dV\psi_i\psi_j=\delta_{ij}(i,j=x,y)を用いるとよい)。ちなみに永年方程式は以下になる。

\begin{vmatrix}\int dV\psi_x\hat{L}_z\psi_x-E&\int dV\psi_x\hat{L}_z\psi_y\\
</dd></dl>
<p>\int dV\psi_y\hat{L}_z\psi_x&\int dV\psi_y\hat{L}_z\psi_y-E\end{vmatrix}

ここで、Scrödinger方程式のλの1次を取り出すと

\hat{L}_z\psi_i+\hat{H}_0\sum_{j\neq i}c_{ij}\psi_j=E_1\psi_i+E_0\sum_{j\neq i}c_{ij}\psi_j\ (i=+,- \& j=0,+,-,z)

ここで非摂動Hamiltonianのエネルギー固有値はすべてE0だから、両辺第2項はキャンセルするので、両辺第1項のみが残る。

ψiと内積をとって、

\int dV\psi_i\hat{L}_z\psi_i=E_1

エネルギーシフトは±2ħλである(実はこれは対角化された行列要素の対角成分であるから、固有値そのものであり、既に永年方程式の解として求めている)。

2.

対称性より、摂動に関与するのはx,y,zすべてに対して偶のψ0ψxの組み合わせのみ(そのほかは全て摂動の行列要素の積分が正負でキャンセル)。

永年方程式は

\begin{vmatrix}c_1-E&c_2\\c_2&c_3-E\end{vmatrix}

だから、エネルギーシフトは

\lambda E_{\pm}=\lambda\frac{c_1+c_3\pm\sqrt{(c_1-c_3)^2+4{c_2}^2}}{2}

分裂後の固有状態は

(c_1-E_{\pm})\psi_0+c_2\psi_x

2005年

第1問

1.

並進演算子

\hat{T}(a)=\exp\left(-a\frac{i}{\hbar}\hat{p}\right)

に対し(このような基底の取替えを行う演算子は基本的にユニタリ)

T^\dagger\hat{H}T^\dagger=H

a微分、

\hat{T}^\dagger\left[\frac{i}{\hbar}\hat{p},\hat{H}\right]\hat{T}=0

より[\hat{p},\hat{H}]=0

2.

可換ということは同時対角化可能、つまり双方に共通の固有関数を用いて正規直交基底を作れる。ただし、例えば自由粒子においてexp(ikx)+exp(-ikx)はエネルギー固有値(ħk)2/2mの固有関数だが、運動量の固有関数ではないので誤っている。

3.

Heisenberg描像で考えたら分かりやすい。

\frac{d}{dt}\hat{A}(t)=[\hat{H}(t),\hat{A}(t)]=0

であれば、

\langle A\rangle=\langle\psi|\hat{A}(t)|\psi\rangle=0

これはψがいかなるベクトルであろうと成立するので誤っている。

第2問

調和振動子、もう飽きたでしょ。

第3問

動径分布、つまりr2がかかっていることに注意。このせいで、必ずr=0で値が0になるので紛らわしい。これを除いた節の数がn-lで、これが同じ波動関数はnが大きいほど外側に来るので、順に10, 21, 22, 33, 32, 31

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