いったいどうしてわたしにそんなことができましょう - lucifuge @Wiki

状況は、

私のことを、対話者、もしくは不特定多数の人に向ける

かな。

中学校レベル

Why can I do that?

和文をもう少し吟味すると、「実際はできない」という強い含みが
感じられ、反語的な表現と受け取れる。こういう場合、相性が良い
助動詞は、実際起こらないことを表現する仮定法で使うcouldか。

Why could I do that?

「そんなこと」を"that"としているが、暗誦用例文に

Can you imagine him doing a thing like that?

というのがあったのを思い出して、

Why could I do a thing like that?

としてみる。

Why on earth could I do a thing like that?

"on earth"はこういう場合でも使えるのか？
ここまできて、"Why"は述語で表す内容の理由を問う疑問詞であることに
気が付き、上のままだと、やや不安を感じてきた。
"どうして・・・かって？それは・・・"みたいに感じられてきた・・・
路線変更。

What could make me do a thing like that?

模範解答

How on earth can I do such a thing?

"such a thing"は良いとして、疑問詞が"How"になっている。
"そんなことをする方法”に対して疑問を投げるのか・・・なるほどね。